EL PROBLEMA DE MONTY HALL
Hace un par de días alguien me comentó el problema de Monty Hall. Este señor era presentador de un programa de televisión en donde a un participante se le daba a elegir entre tres puertas cerradas. Detrás de una de las puertas había un automóvil y detrás de las otras dos había una cabra. Luego de que el participante hubiera elegido su puerta, Monty abría una de las puertas restantes y mostraba una cabra. Luego, quedando solo dos puertas cerradas le preguntaba al participante si quería cambiar de puerta elegida o quería quedarse con su elección. En el programa, obviamente, privaban circunstancias sicológicas en esta segunda elección, como la opinión del público, la de algún familiar, si la puerta tenía el número de la suerte del participante, o simplemente el hecho de que si cambiaba y perdía, el participante se sentiría luego peor.
El problema comienza cuando varios de los participantes aducen que al quedar solo dos puertas, la probabilidad de ganar era igual con cualquiera de las dos, por lo que daba lo mismo cambiar o no.
Ahora bien, lógicamente es muy fácil probar que no es así. Que el participante tiene el doble de probabilidades de ganar si cambia de puerta, que si se queda con su elección original. ¿Cómo es esto? Bien, recordemos dos datos importantes en este asunto: Monty abre una puerta después de que el participante hizo la elección, y esa puerta siempre tiene una cabra. Entonces, ganar quedándose con la primera elección, implica haber elegido la puerta correcta al principio; es decir, ganar con “me quedo” tiene 1/3 de probabilidades de éxito. En cambio, ganar cambiando de puerta implica que originalmente se eligió una puerta incorrecta; es decir, ganar con “cambio” tiene 2/3 de probabilidades de éxito. Pueden hasta hacer una simulación numérica en esta página y ver que cuantas más veces se juegue, más se acercará las veces ganadas con “cambio” a 2/3.
Pero ese no es todo el problema. La supuesta “paradoja” del asunto es que, luego de que Monty descartara una de las puertas falsas, solo quedan dos puertas posibles y en una de ellas está si o si el auto. Por lo tanto, y sin ninguna duda, cada una de esas puertas tiene 1/2 (el 50%) de probabilidades de tener el premio. (Para aquellos que duden de este punto, imaginen que el participante aquí podría sacar una moneda y jugarse a cara, la de la izquierda, cruz, la de la derecha) ¿Y entonces? ¿Cómo es posible que aparentemente haya dos verdades distintas? Esta es la razón de tanta controversia en torno a este problema.
La parte probabilística, pero sobre todo esta última de la paradoja, me sacó el sueño una noche completa. Pero creo haber llegado a una solución que, por lo menos a mí, me satisface: el problema no es una paradoja sino un sofisma. Es un error pensar que es lo mismo preguntarse “cambio o no cambio” que “elijo la de la izquierda o la de la derecha”. Ahí es donde el participante tiene razón, por un lado, pero se equivoca por el otro. Tiene razón al pensar que elegir la de la izquierda o la derecha es elegir entre dos probabilidades iguales (50% cada una), pero se equivoca al no darse cuenta que eligiendo “cambio”, sin importar a qué puerta corresponda esa elección, tiene 2/3 de probabilidades de ganar que si elige “me quedo”. Porque esta última elección saca provecho del hecho de que Monty descarta si o si una puerta falsa, traspasando automáticamente la probabilidad de ser verdadera (1/3) a la restante no elegida en la primera vuelta, con lo que esta última queda con 2/3.
Esto me hace replantearme el escepticismo con el que siempre he mirado las martingalas para ganar a la ruleta o la quiniela, porque las probabilidades de ganar si dependen del proceso que haya seguido para lograr mi selección de la jugada ganadora.
